Encuentra la medida del ángulo C, si AB = 3x, BC = 4x y AC = 5x. B A
Answer (1)
* $\boxed{90^\circ}$*Paso a Paso:*1. *Identificar el tipo de triángulo:* Dadas las longitudes de los lados $AB = 3x$, $BC = 4x$, y $AC = 5x$, podemos reconocer que estos lados forman una terna pitagórica $(3, 4, 5)$. Esto sugiere que el triángulo $ABC$ es un triángulo rectángulo.2. *Aplicar el teorema de Pitágoras:* Para confirmar que es un triángulo rectángulo, verificamos si cumple el teorema de Pitágoras:$$(AB)^2 + (BC)^2 = (3x)^2 + (4x)^2 = 9x^2 + 16x^2 = 25x^2 = (5x)^2 = (AC)^2$$Esto confirma que $ABC$ es un triángulo rectángulo con $AC$ siendo la hipotenusa.3. *Determinar el ángulo C:* En un triángulo rectángulo, el ángulo opuesto a la hipotenusa es el ángulo recto. Si $AC$ es la hipotenusa, entonces el ángulo recto está en el vértice opuesto a $AC$, que sería el ángulo $B$. Sin embargo, la pregunta pide la medida del ángulo $C$. Para encontrar el ángulo $C$, podemos usar trigonometría: - Sabemos que $\sin(C) = \frac{AB}{AC} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$ - O también, $\cos(C) = \frac{BC}{AC} = \frac{4x}{5x} = \frac{4}{5}$Pero para encontrar la medida del ángulo $C$, si el triángulo es rectángulo y $AC$ es la hipotenusa, entonces el ángulo recto no es $C$ necesariamente. Dado que $AB = 3x$, $BC = 4x$, y $AC = 5x$ forman un triángulo rectángulo con $AC$ como hipotenusa, el ángulo recto está opuesto a $AC$, lo que significa que el ángulo recto es el ángulo $B$. Así que el ángulo $C$ no es necesariamente $90^\circ$. Para encontrar el ángulo $C$:$$\angle C = \arctan\left(\frac{AB}{BC}\right) = \arctan\left(\frac{3x}{4x}\right) = \arctan\left(\frac{3}{4}\right)$$*Cálculo del ángulo C:*\[\angle C = \arctan\left(\frac{3}{4}\right) \approx 36.87^\circ\]*Summary:* La medida del ángulo $C$ es aproximadamente $36.87^\circ$, no $90^\circ$. El ángulo recto está en $B$.
