Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 1.5 m qué altura tendrá un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4 m
Answer (1)
La altura del árbol es de 8 metrosPara la resolución de este ejercicio se empleará el teorema de TalesExisten dos teoremas relacionados con la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de TalesUno de ellos explica básicamente una forma de construir un triángulo semejante a partir de uno previamente existenteDos triángulos semejantes tienen ángulos congruentes, por lo tanto sus lados respectivos son proporcionalesEl teorema de Tales enunciaDado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.Como se observa en la figura que se adjunta se forman dos triángulos que son semejantes y por tanto proporcionalesPara el triángulo semejante ABCObservando la figura que se adjunta vemos que conocemos la longitud de la sombra proyectada por el árbol a cierta hora del día -lado AC- y donde nuestra incógnita x es la altura del árbol -lado BC-Conocemos[tex]\bold{\overline{AC } =4 \ m }[/tex][tex]\bold{\overline{BC } = x \ m }[/tex]Luego para el triángulo semejante AB'C'Vemos que sabemos la longitud de la sombra arrojada por el poste vertical en el mismo momento del día o al mismo tiempo -lado AC'- y también la altura del mismo -lado B'C'Luego[tex]\bold{\overline{AC'} = 1.5 \ m}[/tex][tex]\bold{\overline{B'C'} = 3 \ m}[/tex]Con estos valoresCalculamos la altura del árbolPor el teorema de TalesExpresamos[tex]\boxed{ \bold { \frac{\overline{BC} }{\overline{AC} } = \frac{\overline{B'C'} }{\overline{AC'} } }}[/tex][tex]\boxed{ \bold { \frac{x }{\overline{AC} } = \frac{\overline{B'C'} }{\overline{AC'} } }}[/tex][tex]\boxed{ \bold { x = \frac{\overline{AC}\cdot \overline{B'C'} }{\overline{AC'} } }}[/tex][tex]\large \textsf{Reemplazamos valores }[/tex][tex]\boxed{ \bold { \frac{x }{4 \ m } = \frac{3 \ m }{1.5 \ m } }}[/tex][tex]\textsf{Resolvemos en cruz }[/tex][tex]\boxed{ \bold { x = \frac{4 \not m \cdot 3 \ m }{1.5 \not m } }}[/tex][tex]\boxed{ \bold { x = \frac{12 }{1.5} \ m }}[/tex][tex]\large\boxed{ \bold { x= 8 \ metros }}[/tex]La altura del árbol es de 8 metrosSe adjunta gráfico para mejor comprensión del ejercicio propuesto
