Cac una de las ciudades. Dos faros A y B distan uno del otro 40 km y un buque está situado a 11 km del faro B; sí el ángulo A es igual a 13°. ¿A qué distancia se encuentra el buque del otro faro? Se desea construir un puente de 12 km que conecta dos montoño
Answer (1)
La distancia entre el buque y el faro A es de aproximadamente 45.30 kilómetrosSe trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-Teorema del Seno:El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,Entonces se cumple la relación:[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}[/tex]Representamos la situación en un triángulo ABC: en donde en cada uno de los vértices ubicamos al faro A, al faro B y al buque. Teniendo al faro A, el faro B y el buque en los vértices A, B y C respectivamente. En donde los lados AB (c) y BC (a) equivalen a las distancias entre el faro A y el faro B y entre el faro B y el buque respectivamente, de las cuales conocemos sus valores siendo de 40 kilómetros la primera y de 11 kilómetros la segunda . Y el lado AC (b) que representa la distancia entre el faro A y el buque - la cual es nuestra incógnita -. Sabiendo que el ángulo formado en el punto de ubicación del faro A es de 13°Ver gráfico adjuntoDonde se pide calcular: La distancia entre el faro A y el buqueDeterminamos los valores de los ángulos faltantes del triánguloDenotamos al ángulo dado por enunciado: donde se ubica el faro A de 13° como αHallamos el valor del ángulo C (γ) formado en el punto donde se encuentra el buque[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma )} }}[/tex][tex]\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{c}{sen(C)} }}[/tex][tex]\boxed { \bold { \frac{ 11 \ km }{ sen(13 ^o ) }= \frac{40 \ km }{sen (C) } }}[/tex][tex]\boxed { \bold {sen (C) = \frac{ 40 \ km \cdot sen(13^o ) }{11 \ km } }}[/tex][tex]\boxed { \bold {sen (C) = \frac{ 40 \not km \cdot sen(13^o ) }{11 \not km } }}[/tex][tex]\boxed { \bold { sen (C) = \frac{ 40 \cdot sen(13^o ) }{11 }} }[/tex][tex]\boxed { \bold { sen (C) = \frac{ 40 \cdot 0.224951054344 }{11 }} }[/tex][tex]\boxed { \bold { sen (C) = \frac{ 8.99804217376 }{11 }} }[/tex][tex]\boxed { \bold { sen (C) = 0.8180038339781818} }[/tex][tex]\textsf{Aplicamos la inversa del seno para hallar el \'angulo }[/tex][tex]\boxed { \bold { C = arcsen\left( 0.8180038339781818 \right) }}[/tex][tex]\boxed { \bold { C \approx 54.8854 ^o }}[/tex][tex]\textsf{Aproximando }[/tex][tex]\large\boxed { \bold { C \approx 54.88 ^o }}[/tex]El valor del ángulo C (γ) formado en el punto de ubicación del buque es de 54.88°Hallamos el valor del ángulo B (β) formado en el punto de ubicación del faro BComo la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°Planteamos[tex]\boxed {\bold { 180^o = 13^o+ 54.88^o+B }}[/tex][tex]\boxed {\bold {B = 180^o- 13^o - 54.88^o }}[/tex][tex]\large\boxed {\bold {B= 112.12^o }}[/tex]El valor del ángulo B (β) formado en el punto de ubicación del faro B es de 112.12°Conocido el valor del tercer ánguloCalculamos la distancia entre el buque y el faro A hallando el valor del lado AC (b)[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{b}{sen(\beta )} }}[/tex][tex]\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{b}{sen(B)} }}[/tex][tex]\boxed { \bold { \frac{11 \ km }{sen(13^o ) } = \frac{ b }{ sen(112.12^o ) } }}[/tex][tex]\boxed { \bold { b = \frac{ 11 \ km \cdot sen(112.12^o ) }{\ sen(13^o) } }}[/tex][tex]\boxed { \bold { b = \frac{ 11 \ km \cdot 0.926397247385 }{ 0.224951054344 } }}[/tex][tex]\boxed { \bold { b = \frac{ 10.190369721235 }{ 0.224951054344 }\ km}}[/tex][tex]\boxed { \bold { b \approx 45.3003 \ km }}[/tex][tex]\textsf{Redondeando }[/tex][tex]\large\boxed { \bold { b \approx 45.30 \ km }}[/tex]La distancia entre el buque y el faro A es de aproximadamente 45.30 kilómetrosSe adjunta gráfico para mejor comprensión entre las relaciones de los lados y los ángulos planteadas, donde se comprueba el resultado obtenido
