un movil parte del punto A(1; -11) y recorre 17 km en la línea recta hasta llegar a un punto B, que se encuentra a la izquierda de A, y tiene una ordenada 4. Halle la abscisa de B si, además, 1 unidad del plano cartesiano equivale a un 1km
Necesito el procedimiento paso a paso. Ayuda xfa, es urgente.
Answer (1)
Para que se cumpla el requisito del problema, el móvil -recorriendo 17 kilómetros en línea recta- debe llegar desde el punto de partida A(1,-11) al punto de llegada B(-7,4). Encontrándose este último punto a la izquierda del punto ADado que un móvil parte del punto A(1,-11) recorriendo 17 kilómetros en línea recta hasta llegar a un punto B, que se encuentra a la izquierda de A, el cual tiene un valor de ordenada de 4: Se pide hallar la abscisa del punto de llegada B, debiendo encontrarse dicho punto B a la izquierda del punto de partida ASabemos que la distancia recorrida por el móvil en línea recta es de 17 kilómetros y las coordenadas de uno de sus puntos extremos está dado por el punto de partida en el par ordenado A(1,-11) y el punto de llegada en el otro extremo tiene de coordenadas B(x,4)Luego debemos obtener el valor de la abscisa del punto de llegada extremo B sabiendo que el valor de la ordenada del otro extremo es 4Debiéndose encontrar el punto de llegada B a la izquierda del punto de partida AEmpleamos la fórmula de la distancia entre dos puntos para determinar la coordenada desconocidaSabiendo que con este procedimiento encontraremos dos soluciones[tex]\large\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }[/tex]Donde conocemos[tex]\large \textsf{A (1,-11)} \ \ \ \bold{(x_{1} , y_{1} ) }[/tex][tex]\large \textsf{B (x,4)} \ \ \ \ \ \bold{(x_{2} , y_{2} ) }[/tex][tex]\large \textsf{Distancia L\'inea Recta = Longitud AB }\ \bold{= 17 \ km}[/tex]Luego se tiene[tex]\large\boxed{ \bold { Distancia \ Recorrida \ \overline{AB} = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }[/tex][tex]\large \textsf{ Sustituimos los valores conocidos en la f\'ormula de la distancia}[/tex]Donde debemos hallar la coordenada desconocida[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex][tex]\boxed{ \bold {17 = \sqrt{(x-1)^{2} +(4-(-11) )^{2} } } }[/tex][tex]\boxed{ \bold {17 = \sqrt{(x-1)^{2} +(4+11 )^{2} } } }[/tex][tex]\boxed{ \bold {17 = \sqrt{(x-1)^{2} +(15 )^{2} } } }[/tex][tex]\boxed{ \bold {17 = \sqrt{(x-1 )^{2} +225 } } }[/tex][tex]\boxed{ \bold {17 = \sqrt{x^{2}-2x+1 +225 } } }[/tex][tex]\boxed{ \bold {17 = \sqrt{x^{2}-2x +226 } } }[/tex][tex]\boxed {\bold { \left(\sqrt{17} \right )^{2} = \left(\sqrt{x^{2} -2x+226} \right )^{2} }}[/tex][tex]\boxed{ \bold { 289 = x^{2}-2x+226 } }[/tex][tex]\boxed{ \bold { x^{2}-2x+226 -289=0 } }[/tex][tex]\large\boxed{ \bold { x^{2}-2x-63 = 0 } }[/tex][tex]\large\textsf{Tenemos una ecuaci\'on de segundo grado}[/tex]La cual resolvemos empleando la fórmula cuadrática[tex]\large\textsf{F\'ormula cuadr\'atica}[/tex][tex]\large\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}[/tex][tex]\textsf {Sustituimos los valores de a = 1, b = -2 y c = -64 }[/tex][tex]\large\textsf{Para resolver para x y hallar los valores de la coordenada desconocida }[/tex][tex]\boxed{ \bold{x = \frac{ 2 \pm \sqrt{ (-2)^2 - 4\cdot (1 \cdot -63) } }{2 \cdot 1} }}[/tex][tex]\boxed{ \bold{x = \frac{ 2 \pm \sqrt{4- (4\cdot -63) } }{2 } }}[/tex][tex]\boxed{ \bold{x = \frac{ 2 \pm \sqrt{4+252 } }{2 } }}[/tex][tex]\boxed{ \bold{x = \frac{ 2 \pm \sqrt{256 } }{2 } }}[/tex][tex]\boxed{ \bold{x = \frac{ 2 \pm \sqrt{16^{2} } }{2 } }}[/tex][tex]\boxed{ \bold{x = \frac{ 2 \pm16 }{2 } }}[/tex][tex]\textsf{Simplificamos }[/tex][tex]\boxed{ \bold{x = 1\pm8 }}[/tex][tex]\large\textsf{La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones}[/tex][tex]\boxed{ \bold{x = 9,\ -7 }}[/tex][tex]\large\textsf {Se toman los dos valores de x para la coordenada desconocida }[/tex]Por tanto hay 2 valores para la abscisa del punto B que son ambas soluciones válidasTeniendo[tex]\large\boxed{ \bold{x_{B} = 9 \ \ \ x_{B} = - 7 }}[/tex]Por tanto se obtienen 2 soluciones para el punto BObteniendo[tex]\large \textsf{B (9, 4)}[/tex][tex]\large \textsf{B (-7, 4)}[/tex]Luego como el punto de llegada B se tiene que encontrar a la izquierda del punto de partida A:El valor de la abscisa del punto B de llegada debe ser menor al valor de la abscisa del punto A de partidaTeniendo:[tex]\large\boxed{ \bold{x_{B} < x_{A} }}[/tex][tex]\large\boxed{ \bold{x_{B} < 1 }}[/tex]Por lo tanto descartamos el valor de 9 para la abscisa del punto BNotando que si se tomara este valor el punto B se ubicaría a la derecha del punto A Luego para que se cumpla el requisito del problema se toma como valor de abscisa para el punto B el valor de -7[tex]\large\boxed{ \bold{x_{B} < 1 }}[/tex][tex]\large\boxed{ \bold{-7 < 1 }}[/tex]Concluyendo que el punto de llegada B del móvil -luego de recorrer 17 kilómetros- se ubica en el punto B(-7,4), el cual se encuentra a la izquierda del punto de partida A(1,-11)Se agrega gráfico como archivo adjunto
