escribí una ecuación general de la recta que pasa por el punto dado y es perpendicular a la recta (-6,3);x+3y=12
Answer (1)
La ecuación de la recta L2 -perpendicular a L1- y que pasa por el punto P(-6,3) expresada en la forma general está dada por: [tex]\huge\boxed {\bold { 3x - y +21 = 0 }}[/tex]Sea la recta L1:[tex]\large\boxed {\bold { x +3y= 12 }}[/tex]Se solicita hallar la ecuación de la recta L2 -perpendicular a L1- y que pase por el punto P(-6,3)Reescribimos la ecuación en la forma pendiente punto de intercepción o pendiente ordenada al origenTambién llamada forma principal o explícitaQue responde a la forma:[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]Donde m es la pendiente y b la intersección en Y[tex]\boxed {\bold { x +3y= 12 }}[/tex]Resolvemos para y[tex]\boxed {\bold { 3y = -x+12 }}[/tex][tex]\boxed {\bold { \frac{\not3}{\not3} y =- \frac{1}{3}x + \frac{12}{3} }}[/tex][tex]\textsf{Dividiendo }[/tex][tex]\large\boxed {\bold { y =-\frac{1}{3}x+4 }}[/tex]Donde denotamos a la pendiente de la recta dada como [tex]\bold { m_{1} }[/tex][tex]\large\boxed {\bold { m_{1} = -\frac{1}{3} }}[/tex]La pendiente de la recta L1 es igual a -1/3Determinamos la pendiente de una recta perpendicularDenotaremos a la pendiente de la recta perpendicular [tex]\bold { m_{2} }[/tex]La pendiente de una recta perpendicular debe ser inversa y cambiada de signoEn otras palabras debe tener una pendiente que sea el recíproco negativo de la pendiente original [tex]\bold { m_{1} }[/tex][tex]\large\boxed{\bold {m_{2} =- \frac{ 1 }{ m_{1} } }}[/tex][tex]\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos}[/tex][tex]\boxed{\bold {m_{2} =- \frac{ 1 }{ -\frac{1}{3} } }}[/tex][tex]\boxed{\bold {m_{2} =- 1\cdot - \frac{3}{1} }}[/tex][tex]\boxed{\bold {m_{2} =\frac{3}{1} }}[/tex][tex]\textsf{Dividiendo }[/tex][tex]\large\boxed{\bold {m_{2} = 3 }}[/tex]Concluyendo que cualquier recta perpendicular a L1 debe tener una pendiente cuyo valor será m = 3Hallamos la ecuación de la recta L2- perpendicular a la recta L1- que pasa por el punto o par ordenado P(-6,3)Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta perpendicular solicitadaCuya forma está dada por:[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]Donde x1 e y1 son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m es la pendiente. Como conocemos el punto P (-6,3) tomaremos x1 = -6 e y1 = 3Dado que la recta debe ser perpendicular a la dada su pendiente m será igual a 3 [tex]\bold{m_{2} = 3 }[/tex]Por tanto:[tex]\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { 3 } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold{ P\ (-6,3) }[/tex][tex]\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }[/tex][tex]\boxed {\bold { y - (3) = 3 \cdot (x - (-6) )}}[/tex][tex]\boxed {\bold { y -3 = 3\cdot (x+6 )}}[/tex]Reescribimos la ecuación de la recta L2 -perpendicular a L1- que pasa por el punto P(-6,3) en la forma pendiente punto de intercepción o pendiente ordenada al origenTambién llamada forma principal o explícitaQue responde a la forma:[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]Donde m es la pendiente y b la intersección en Y[tex]\boxed {\bold { y -3 = 3\cdot (x+6 )}}[/tex]Resolvemos para y[tex]\boxed {\bold { y -3 = 3x+18}}[/tex][tex]\boxed {\bold { y = 3x+18 +3}}[/tex][tex]\large\boxed {\bold { y =3x +21 }}[/tex]Habiendo hallado la ecuación de la recta L2 -perpendicular a L1- y que pasa por el punto P(-6,3) en la forma explícitaReescribimos la ecuación de la recta perpendicular solicitada en la forma general de la rectaTambién llamada forma implícitaQue responde a la forma:[tex]\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}[/tex][tex]\boxed {\bold { y =3x +21 }}[/tex][tex]\textsf{Igualamos a cero }[/tex][tex]\boxed {\bold { 3x +21-y =0 }}[/tex][tex]\large\textsf{Obteniendo }[/tex][tex]\large\boxed {\bold { 3x - y +21 = 0 }}[/tex]Habiendo hallado la ecuación de la recta perpendicular solicitada en la forma general o implícitaSiendo las dos rectas perpendiculares Se agrega gráfico como archivo adjunto
