Respuesta de este problema x²<10-3x en notación de intervalos y gráficamente
Answer (1)
Para resolver la desigualdad ( x^2 < 10 - 3x ), primero debemos reorganizarla:1. Suma ( 3x ) a ambos lados: [tex]x^2 + 3x < 10[/tex]2. Resta ( 10 ) de ambos lados: [tex]x^2 + 3x - 10 < 0[/tex]Ahora, vamos a encontrar las raíces de la ecuación cuadrática ( x^2 + 3x - 10 = 0 ) usando la fórmula general [tex]( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} )[/tex], donde ( a = 1, b = 3, c = -10 ).Calculamos el discriminante: [tex]b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49[/tex]Ahora, aplicamos la fórmula: [tex]x = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{-3 \pm 7}{2}[/tex]Esto nos da dos soluciones:[tex]( x_1 = \frac{4}{2} = 2 )[/tex][tex]( x_2 = \frac{-10}{2} = -5[/tex])Ahora tenemos las raíces ( x = -5 ) y ( x = 2). Para encontrar los intervalos donde la desigualdad es verdadera, evaluamos los signos de la expresión [tex]( (x + 5)(x - 2) < 0[/tex]) en los intervalos determinados por las raíces:Intervalo[tex]( (-\infty, -5) )[/tex]Intervalo [tex]( (-5, 2) )[/tex]Intervalo [tex]( (2, +\infty) )[/tex]Evaluamos un punto en cada intervalo:En ( (-\infty, -5) ): elige ( x = -6): [tex]( (-6 + 5)(-6 - 2) > 0)[/tex]En ( (-5, 2) ): elige ( x = 0): [tex]( (0 + 5)(0 - 2) < 0)[/tex]En ( (2, +\infty) ): elige ( x = 3): [tex]( (3 + 5)(3 - 2) > 0)[/tex]Por lo tanto, la solución de la desigualdad es el intervalo donde la expresión es negativa:Notación de intervalos: [tex](-5, 2)[/tex]Gráficamente:Podrías representar esta desigualdad en una recta numérica marcando los puntos -5 y 2 con círculos abiertos (indican que no están incluidos en el intervalo), y sombrear la región entre ellos para mostrar que esos valores son parte de la solución.
