Tres barcos A, B y C, están en alta mar. La distancia del barco A al barco B es de 2,5 Km. El Barco B al Barco C está a una distancia de 2 Km y la distancia del barco A y C es de 3 Km. Haga el dibujo de la situación y determine el valor de los tres ángulos.
Answer (2)
Fíjate en el dibujo que adjunto donde he intentado aproximar de manera manual las tres medidas de los lados del triángulo que se forma.Cuando nos dan como datos los tres lados y nos piden los ángulos hemos de recurrir al teorema del coseno.Comenzaremos por calcular el ángulo A cuyo lado opuesto mide a = 2 a² = b² + c² - 2·b·c·cos A 2² = 3² + 2,5² - 2 · 3 · 2,5 · cos A 4 = 9 + 6,25 - 15 · cos A 15 · cos A = 9 + 6,25 - 4 cos A = 11,25 / 15 cos A = 0,75Con calculadora científica se usa la función inversa del coseno para saber a qué angulo pertenece ese valor y nos dice que: ∡A ≈ 41,4º Te he explicado el procedimiento para el ángulo A.Para calcular el segundo ángulo, por ejemplo, el B, usamos la misma fórmula pero cambiando los datos de sitio. En este ángulo, la fórmula sería: b² = a² + c² - 2·a·c·cos B 3² = 2² + 2,5² - 2 · 2 · 2,5 · cos B El procedimiento operativo es idéntico: 9 = 4 + 6,25 - 10 · cos B 10 cos B = 10,25 - 9 cos B = 1,25 / 10 cos B = 0,125 ∡B ≈ 82,8ºPara el ángulo C ya nos sería necesario volver a usar la fórmula ya que sabemos que en cualquier triángulo, la suma de sus tres ángulos siempre nos dará 180º .Sumamos los dos ángulos conocidos y el resultado lo restamos de 180. 180 - (41,4 + 82,8) = 55,8 ∡C ≈ 55,8º
Los valores de los ángulos interiores del triángulo son de:A = 41.40°, B = 82.82° y C = 55.78°Formando los Barcos A, B y C dichos ángulos respectivamenteSe trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera. Ubicamos a los barcos A, B y C en los vértices A, B y C respectivamenteSe tiene un triángulo no rectángulo ABC: del cual se conocen la medida de sus tres lados a, b y c, al que empleando la notación habitual en los triángulos llamamos A, B y C a los ángulos respectivamente opuestos a esos ladosPor tanto conocemos las magnitudes de los tres lados del triángulo:[tex]\bold{a = 2 \ km= Barco \ B- Barco \ C }[/tex][tex]\bold{b = 3 \ km= Barco \ A- Barco \ C }[/tex][tex]\bold{c = 2.5 \ km= Barco \ A- Barco \ B }[/tex]Donde se pide determinar las medidas de los ángulos interiores del triánguloVer gráfico adjuntoPara resolver este ejercicio y determinar los valores de los ángulos desconocidos del triángulo vamos a aplicar el teorema del coseno¿Qué es el Teorema del Coseno?El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos, es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos ladosEl teorema del coseno dice:Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,Entonces se cumplen las relaciones:[tex]\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos(A ) }}[/tex][tex]\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos(B ) }}[/tex][tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(C ) }}[/tex]Hallamos el valor del ángulo A -Barco A-Por el teorema del coseno podemos expresar:[tex]\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos(A ) }}[/tex][tex]\boxed {\bold { b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 \cdot b \cdot c \cdot cos(A ) }}[/tex]Luego[tex]\boxed {\bold {cos(A )= \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2} }{2 \cdot b \cdot c } }}[/tex][tex]\large\textsf{Reemplazamos valores }[/tex][tex]\boxed {\bold {cos(A )= \frac{(3 \ km )^{2} + (2.5 \ km )^{2} - (2 \ km )^{2} }{2 \cdot 3 \ km \cdot 2.5 \ km } }}[/tex][tex]\boxed {\bold {cos(A )= \frac{9 \ km^{2} +6.25 \ km^{2} - 4 \ km^{2} }{15 \ km^{2} } }}[/tex][tex]\boxed {\bold {cos(A )= \frac{15.25 \ km^{2} - 4 \ km^{2} }{15 \ km^{2} } }}[/tex][tex]\boxed {\bold {cos(A )= \frac{11.25 \not km^{2} }{15 \not km^{2} } }}[/tex][tex]\boxed {\bold {cos(A )= \frac{ 11.25 }{15 } }}[/tex][tex]\textsf{Dividiendo}[/tex][tex]\boxed {\bold {cos(A )= 0.75 }}[/tex][tex]\textsf{Aplicamos la inversa del coseno para hallar el \'angulo}[/tex][tex]\boxed {\bold {A=arccos\left( 0.75\right ) }}[/tex][tex]\boxed {\bold {A = 41.409^o }}[/tex][tex]\textsf{Aproximando}[/tex][tex]\large\boxed {\bold {A =41.40^o }}[/tex]El valor del ángulo A es de 41.40° -donde se encuentra el Barco A-Hallamos el valor del ángulo B -Barco B-Por el teorema del coseno podemos expresar:[tex]\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos(B ) }}[/tex][tex]\boxed {\bold { a^{2} + c^{2} - b^{2} = 2 \cdot a \cdot c \cdot cos(B ) }}[/tex]Luego[tex]\boxed {\bold {cos(B )= \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2} }{2 \cdot a \cdot c } }}[/tex][tex]\large\textsf{Reemplazamos valores }[/tex][tex]\boxed {\bold {cos(B )= \frac{(2 \ km)^{2} + (2.5 \ km) ^{2} - (3 \ km)^{2} }{2 \cdot 2 \ km \cdot 2.5 \ km } }}[/tex][tex]\boxed {\bold {cos(B )= \frac{4 \ km^{2} +6.25 \ km^{2} -9 \ km^{2} }{10 \ km^{2} } }}[/tex][tex]\boxed {\bold {cos(B )= \frac{ 10.25 \ km^{2} - 9 \ km^{2} }{10 \ km^{2} } }}[/tex][tex]\boxed {\bold {cos(B )= \frac{1.25 \not km^{2} }{10 \not km^{2} } }}[/tex][tex]\boxed {\bold {cos(B )= \frac{ 1.25}{10 } }}[/tex][tex]\textsf{Dividiendo}[/tex][tex]\boxed {\bold {cos(B )= 0.125 }}[/tex][tex]\textsf{Aplicamos la inversa del coseno para hallar el \'angulo}[/tex][tex]\boxed {\bold {B=arccos\left( 0.125\right ) }}[/tex][tex]\boxed {\bold {B = 82.819^o }}[/tex][tex]\textsf{Aproximando}[/tex][tex]\large\boxed {\bold {B =82.82^o }}[/tex]El valor del ángulo B es de 82.82° -donde se encuentra el Barco B-Hallamos el valor del ángulo C -Barco C-Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°Como ya conocemos dos de los ángulos del triángulo determinamos el valor del terceroPlanteando:[tex]\boxed {\bold {180^o= A +B +C }}[/tex][tex]\boxed {\bold {180^o= 41.40^o +82.82^o+C }}[/tex][tex]\boxed {\bold {C = 180^o-41.40^o - 82.82^o }}[/tex][tex]\large\boxed {\bold {C = 55.78^o }}[/tex]El valor del ángulo C es de 55.78° -donde se encuentra el Barco C-Se agrega gráfico de la situación solicitado a escala para comprender las relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo planteadas, donde se comprueba el resultado obtenido
