Un poste de 1.8 m de alto está a punto de caerse y para evitarlo se pretende extender un cable que lo sostenga. La distancia que hay de la base del poste al punto donde se pretende sujetar el cable en el suelo es de 2.4 m y el ángulo que forma el poste con el suelo es de 102°. ¿Cuánto cable será necesario para sujetar el poste? Seleccione una: a. 1.8 m b. 4.15 m c. 3.28 m d. 2.5 m
Answer (1)
La cantidad de cable necesario es de aproximadamente 3.28 metrosSiendo correcta la opción cSe trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquieraRepresentamos la situación en un triángulo no rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que representa la altura del poste inclinado, el lado AC (b) que equivale a la distancia desde la base del poste hasta cierto punto en el suelo -ubicado en A- donde se sujetará el cable que sostendrá a dicho poste. Donde estas dos dimensiones se conocen. Siendo el ángulo de inclinación que forma el poste con el suelo de 102°. Teniendo finalmente el lado AB (c) que define la cantidad de cable necesaria para sostener al poste, la cual es nuestra incógnitaDonde se pide calcular la cantidad de cable necesaria para sujetar al postePara determinar dicha longitud vamos a aplicar el teorema del coseno¿Qué es el Teorema del Coseno?El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.El teorema del coseno dice:Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,Entonces se cumplen las relaciones:[tex]\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos(\alpha ) }}[/tex][tex]\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos(\beta ) }}[/tex][tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(\gamma ) }}[/tex]Por tanto conocemos para este triángulo:[tex]\large\textsf{Altura del Poste }[/tex][tex]\bold{\overline{BC}=a= 1.8 \ m }[/tex][tex]\large\textsf{Distancia desde Base Poste hasta A - Sujeci\'on en Suelo }[/tex][tex]\bold{\overline{AC}=b=2.4 \ m }[/tex][tex]\large\textsf{\'Angulo de Inclinaci\'on del Poste }[/tex][tex]\bold{C =102^o}[/tex]Ver gráfico adjunto Hallamos la cantidad de cable necesaria para sujetar al posteLa cual está dada por el lado faltante del triángulo lado AB (c)Conocemos el valor de dos lados y la dimensión del ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para determinar la longitud del cable necesario para sostener al postePor el teorema del coseno podemos expresar[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(\gamma ) }}[/tex][tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(C ) }}[/tex][tex]\large\textsf{Reemplazamos valores }[/tex][tex]\boxed {\bold { c^{2} = (1.8 \ m)^{2} + ( 2.4 \ m)^{2} - 2 \cdot 1.8 \ m \cdot 2.4 \ m \cdot cos(102^o) }}[/tex][tex]\boxed {\bold { c^{2} = 3.24 \ m^{2} + 5.76 \ m^{2} - 8.64 \ m^{2} \cdot cos(102^o) }}[/tex][tex]\boxed {\bold { c^{2} = 9 \ m^{2} - 8.64 \ m^{2} \cdot cos(102^o) }}[/tex][tex]\boxed {\bold { c^{2} =9 \ m^{2} -8.64 \ m^{2} \cdot( -0.207911690818) }}[/tex][tex]\boxed {\bold { c^{2} = 9 \ m^{2} + 1.79635700866752 \ m^{2} }}[/tex][tex]\boxed {\bold {c^{2} = 10.79635700866752 \ m^{2} }}[/tex][tex]\boxed {\bold {\sqrt{ c^{2} } = \sqrt{ 10.79635700866752 \ m^{2} } }}[/tex][tex]\boxed {\bold {c = \sqrt{ 10.79635700866752 \ m^{2} } }}[/tex][tex]\boxed {\bold {c \approx 3.28578 \ metros }}[/tex][tex]\textsf{Redondeando }[/tex][tex]\large\boxed {\bold { c \approx 3.28 \ metros}}[/tex]Luego la cantidad de cable necesaria para sujetar el poste es de aproximadamente 3.28 metrosSe agrega gráfico a escala para mejor comprensión entre las relaciones entre los lados y los ángulos planteados, donde se comprueba el resultado obtenido
