pueden ayudarme a integrarla paso a paso
Answer (1)
Respuesta:[tex]\int\limits {\dfrac{3x^{5}-4x^{3}+2x^{2} +x-8 }{x^{2} +3}dx =[/tex][tex]\frac{3}{4}x^{4}-\frac{13}{2} x^{2} +2x+[/tex][tex]20.ln(x^{2} +3)[/tex][tex]- \frac{14\sqrt{3} }{4} arctan(\frac{x}{\sqrt{3} })+C[/tex]Explicación:Como la función de la integral es un cociente de polinomios donde el grado del numerador supera al del denominador, debemos hacer la división larga: [tex]3x^{5}+0x^{4}-4x^{3}+2x^{2} +x-8[/tex] ║ [tex]x^{2} +3[/tex] [tex]-3x^{5}+0x^{4} -9x^{3}[/tex] [tex]3x^{3}-13x+2[/tex] [tex]-13x^{3}+2x^{2} +x-8[/tex] [tex]13x^{3}+0x^{2} +39x[/tex] [tex]2x^{2} +40x-8[/tex] [tex]-2x^{2} +0x-6[/tex] [tex]40x-14[/tex]Así entonces podemos escribir la división planteada como : [tex]\dfrac{3x^{5}-4x^{3}+2x^{2} +x-8 }{x^{2} +3} =3x^{3}-13x+2+\dfrac{40x-14}{x^{2} +3}[/tex]Entonces [tex]\int\limits {\dfrac{3x^{5}-4x^{3}+2x^{2} +x-8 }{x^{2} +3}dx =\int\limits{(3x^{3}-13x+2)dx+\int\limits {\dfrac{40x-14}{x^{2} +3}} } \, dx[/tex]La primera integral es directa y su solución es : [tex]\int\limits{(3x^{3}-13x+2)dx=\frac{3}{4}x^{4}-\frac{13}{2} x^{2} +2x+C[/tex]La siguiente integral puede dividirse en dos : [tex]\int\limits {\dfrac{40x-14}{x^{2} +3}} } \, dx= \int\limits {\frac{40x}{x^{2} +3} } \, dx-\int\limits{\frac{14}{x^{2} +3} } \, dx[/tex]Entonces [tex]\int\limits {\frac{40x}{x^{2} +3} } \, dx=20\int\limits{\frac{2x}{x^{2} +3} } \, dx =20.ln(x^{2} +3)+C[/tex]y la última [tex]\int\limits{\frac{14}{x^{2} +3} } \, dx = \frac{14}{3} \int\limits {\frac{\sqrt{3} }{(\frac{x}{\sqrt{3} })^{2}+1 } } \, dx = \frac{14\sqrt{3} }{4} arctan(\frac{x}{\sqrt{3} })+C[/tex]Resumiendo [tex]\int\limits {\dfrac{3x^{5}-4x^{3}+2x^{2} +x-8 }{x^{2} +3}dx =[/tex][tex]\frac{3}{4}x^{4}-\frac{13}{2} x^{2} +2x+[/tex][tex]20.ln(x^{2} +3)[/tex][tex]- \frac{14\sqrt{3} }{4} arctan(\frac{x}{\sqrt{3} })+C[/tex]
