1. Calcula el área de la región triangular mostrada. B 8 m 60° A C 10 m Rpta.:
Answer (1)
El área de la región triangular es de 20√3 metros cuadrados (m²) o de aproximadamente 34.64 metros cuadrados (m²)Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquieraRepresentamos la situación en un triángulo no rectángulo ABC: Teniendo el lado AC (b) que equivale a la longitud de un lado de la región triangular y el lado AB (c) conforma la longitud del segundo lado de la región triangular. Donde las medidas de estos dos lados se conocen, -con magnitudes de 8 metros el primero y de 10 metros el segundo, a los que llamamos b y c respectivamente-. Formando ambos lados conocidos de la región triangular un ángulo de 60° en el punto A. Teniendo finalmente el lado BC (a) el cual resulta ser el tercer lado de dicha región triangular de la cual desconocemos su dimensión.Donde se pide calcular:El área de la región triangularPor tanto conocemos para este triángulo:[tex]\large\textsf{Longitud del lado b }[/tex][tex]\bold{\overline{AC}="b" = 8 \ m}[/tex][tex]\large\textsf{Longitud del lado c }[/tex][tex]\bold{\overline{AB}="c" = 10 \ m}[/tex][tex]\large\textsf{\'Angulo Formado entre los lados "b" y "c" }[/tex][tex]\bold{A =60^o}[/tex]Ver gráfico adjunto Luego hallamos el área de la región triangularDado que conocemos el valor de dos lados de la región triangular y la dimensión del ángulo comprendido entre ellosEl área de un triángulo dados dos lados de los cuales se conoce su dimensión y la amplitud del ángulo formado entre esos dos lados conocidos:Resulta en una media del producto de los dos lados conocidos por el seno del ángulo comprendido entre esos dos ladosTeniendo:[tex]\large\boxed {\bold { \'Area \ Tri\'angulo = \frac{b\cdot c\cdot\ sen (\alpha ) }{2} }}[/tex][tex]\large\boxed {\bold { \'Area \ Tri\'angulo = \frac{b\cdot c\cdot\ sen (A ) }{2} }}[/tex][tex]\large\textsf{Reemplazamos valores }[/tex][tex]\boxed {\bold { \'Area \ Tri\'angulo = \frac{(8 \ m)\cdot (10\ m) \cdot\ sen (60^o ) }{2} }}[/tex][tex]\boxed {\bold { \'Area \ Tri\'angulo = \frac{80\ m^{2} \cdot sen (60^o ) }{2} }}[/tex]Como tenemos un ángulo notable[tex]\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }[/tex][tex]\boxed {\bold { \'Area \ Tri\'angulo = \frac{80\ m^{2} \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} }{2} }}[/tex][tex]\textsf{Simplificando }[/tex][tex]\boxed {\bold { \'Area \ Tri\'angulo = \frac{2\cdot40 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} }{2} \ m^{2} }}[/tex][tex]\boxed {\bold { \'Area \ Tri\'angulo = \frac{\not2\cdot40 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{\not2} }{2} \ m^{2} }}[/tex][tex]\boxed {\bold { \'Area \ Tri\'angulo = \frac{40\sqrt{3} }{2} \ m^{2} }}[/tex][tex]\large\textsf{Expresado en Forma Exacta: }[/tex][tex]\large\boxed {\bold { \'Area \ Tri\'angulo = 20\sqrt{3} \ m^{2} }}[/tex][tex]\large\textsf{Expresado de manera decimal: }[/tex][tex]\boxed {\bold { \'Area \ Tri\'angulo \approx 34.64101 \ m^{2} }}[/tex][tex]\textsf{Redondeando }[/tex][tex]\large\boxed {\bold { \'Area \ Tri\'angulo \approx 34.64 \ m^{2} }}[/tex]Luego el área de la región triangular es de 20√3 metros cuadrados (m²) o de aproximadamente 34.64 metros cuadrados (m²)Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión entre las relaciones entre los lados y los ángulos planteados, donde se comprueba el resultado obtenido
