Un árbol de 3 metros de alto proyecta una sombra, cuyo final coincide con la de un niño de 1,45 metros de alto, que está cerca del árbol, si la sombra del niño es de 2,6 metros. Conteste: ¿Cuál es la sombra del árbol? ¿Cuál es la distancia de la persona al árbol?
Answer (1)
La longitud de la sombra proyectada por el árbol es de 5.38 metrosLa persona se encuentra a una distancia de 2.78 metros del árbolPara la resolución de este ejercicio se empleará el teorema de TalesExisten dos teoremas relacionados con la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de TalesUno de ellos explica básicamente una forma de construir un triángulo semejante a partir de uno previamente existenteDos triángulos semejantes tienen ángulos congruentes, por lo tanto sus lados respectivos son proporcionalesEl teorema de Tales enunciaDado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.Como se observa en la figura que se adjunta se forman dos triángulos que son semejantes y por tanto proporcionalesPara el triángulo semejante ABCObservando la figura que se adjunta vemos que conocemos la altura del árbol -lado BC- y donde nuestra incógnita x es la longitud de la sombra proyectada por el árbol -lado AC-Conocemos[tex]\bold{\overline{BC } = 3 \ m }[/tex][tex]\bold{\overline{AC } =x \ m }[/tex]Luego para el triángulo semejante AB'C'Vemos que sabemos la altura del niño -lado B'C'- y también la longitud de la sombra arrojada por el mismo -lado AC'-Luego[tex]\bold{\overline{B'C'} =1.45 \ m}[/tex][tex]\bold{\overline{AC'} = 2.6 \ m}[/tex]Con estos valoresCalculamos la longitud de la sombra proyectada por el árbolPor el teorema de TalesExpresamos[tex]\boxed{ \bold { \frac{\overline{AC} }{\overline{BC} } = \frac{\overline{AC'} }{\overline{B'C'} } }}[/tex][tex]\boxed{ \bold { \frac{x }{\overline{BC} } = \frac{\overline{AC'} }{\overline{B'C'} } }}[/tex][tex]\boxed{ \bold { x = \frac{\overline{BC}\cdot \overline{AC'} }{\overline{B'C'} } }}[/tex][tex]\large \textsf{Reemplazamos valores }[/tex][tex]\boxed{ \bold { \frac{x }{3 \ m } = \frac{2.6 \ m }{1.45 \ m } }}[/tex][tex]\textsf{Resolvemos en cruz }[/tex][tex]\boxed{ \bold { x = \frac{3 \not m \cdot 2.6 \ m }{1.45 \not m } }}[/tex][tex]\boxed{ \bold { x = \frac{7.8 }{1.45} \ m }}[/tex][tex]\boxed{ \bold { x= 5.3793 \ metros }}[/tex][tex]\textsf{Redondeando }[/tex][tex]\large\boxed{ \bold { x= 5.38 \ metros }}[/tex]La longitud de la sombra proyectada por el árbol es de 5.38 metrosDeterminamos la distancia del niño al árbolDebido a que los finales de ambas sombras -la del árbol y la del niño- coinciden en un mismo punto:El cálculo de la distancia de la persona hasta la base del árbol se reduce a una resta entre la sombra arrojada por el árbol y la sombra proyectada por el niñoTeniendo:[tex]\large\boxed{ \bold { Distancia \ Ni\~no \ al \ \'Arbol = Sombra \ \'Arbol -Sombra \ Ni\~no }}[/tex][tex]\large\textsf{Reemplazamos valores conocidos }[/tex][tex]\boxed{ \bold { Distancia \ Ni\~no \ al \ \'Arbol = 5.38 \ m -2.6 \ m }}[/tex][tex]\large\boxed{ \bold { Distancia \ Ni\~no \ al \ \'Arbol = 2.78 \ metros }}[/tex]Luego la persona se encuentra a una distancia de 2.78 metros del árbolSe adjunta gráfico para mejor comprensión del ejercicio propuesto
