Una suma de 220 soles se compone en 56 monedas de 5 soles y 2 soles. Halla el número de monedas de 5 soles.
Answer (1)
Se tienen 36 monedas de 5 soles y 20 monedas de 2 solesEstablecemos las ecuaciones que modelan la situación del problemaLlamamos variable "x" al número de monedas de 5 soles y variable "y" al número de monedas de 2 solesDonde sabemos queEl total de monedas que se tienen -de las dos denominaciones- es de 56Donde sabemos que el monto total que suman las dos clases de monedas es de $ 220 solesTeniendo monedas de denominación de $ 5 solesTeniendo monedas de denominación de $ 2 solesPlanteamos un sistema de ecuaciones que satisfaga al problemaEl sistema de ecuaciones:Sumamos la cantidad de monedas de denominación de $ 5 soles y la cantidad de monedas de denominación de $ 2 soles para establecer la primera ecuación y la igualamos a la cantidad de monedas que se tienen en total [tex]\large\boxed {\bold {x+y=56 }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]Luego como se tienen dos denominaciones o dos clases de monedas sumamos las monedas de valor de $ 5 soles y las monedas de valor de $ 2 soles para plantear la segunda ecuación, y la igualamos al monto total de dinero que dichas monedas suman[tex]\large\boxed {\bold {5x+2y=220 }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }[/tex]LuegoDespejamos y en la primera ecuaciónEn[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex][tex]\large\boxed {\bold {x+y=56 }}[/tex]Despejamos y[tex]\large\boxed {\bold {y =56 -x }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]Resolvemos el sistema de ecuacionesReemplazando[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex][tex]\large\boxed {\bold {y =56 -x }}[/tex][tex]\large\textsf {En Ecuaci\'on 2 }[/tex][tex]\large\boxed {\bold {5x+2y=220 }}[/tex][tex]\boxed {\bold {5x+2\ (56 -x)=220 }}[/tex][tex]\boxed {\bold {5x+112 -2x=220 }}[/tex][tex]\boxed {\bold {5x-2x+112=220 }}[/tex][tex]\boxed {\bold {3x+112=220 }}[/tex][tex]\boxed {\bold {3x=220-112 }}[/tex][tex]\boxed {\bold {3x=108 }}[/tex][tex]\boxed {\bold { x = \frac{108}{3} }}[/tex][tex]\large\boxed {\bold { x =36 }}[/tex]Por lo tanto se tienen 36 monedas de $ 5 soles (de denominación 5)Hallamos el número de monedas de $ 2 soles que se tienenReemplazando el valor hallado de x en[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex][tex]\large\boxed {\bold {y =56 -x }}[/tex][tex]\boxed {\bold {y =56 -36 }}[/tex][tex]\large\boxed {\bold {y =20 }}[/tex]Luego se tienen 20 monedas de $ 2 soles (de denominación 2)Verificación Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex][tex]\boxed {\bold {x + y = 56 }}[/tex][tex]\bold { 36 \ monedas \ de \ \$\ 5 + 20 \ monedas \ de \ \$\ 2 = 56 \ monedas }[/tex][tex]\boxed {\bold {56 \ monedas= 56 \ monedas}}[/tex][tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex][tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }[/tex][tex]\boxed {\bold {5x +2y =220 }}[/tex][tex]\bold {\$ \ 5 \cdot 36 \ monedas + \$ \ 2 \cdot 20 \ monedas = \$\ 220 }[/tex][tex]\bold {\$\ 180 + \$\ 40 = \$\ 220 }[/tex][tex]\boxed {\bold {\$\ 220= \$\ 220 }}[/tex][tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]Para finalizar si este problema se hubiese resuelto de manera gráfica, se trazarían las rectas que componen el sistema de ecuaciones con dos incógnitas que modelan el problema. Encontrándose la solución al problema en el punto que las 2 rectas se intersecanSe agrega la representación gráfica sólo a fines ilustrativos
