Si 12n tiene 63 divisores compuestos,señala el valor de "n"
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Explicación paso a paso:1. Datos12n tiene 63 divisores compuestos.Un divisor compuesto es mayor que 1 y no es primo.Fórmula:divisores compuestos = divisores totales – divisores primos – 12. RelaciónSea T = número total de divisores de 12nSea r = número de divisores primos de 12n (que es lo mismo que el número de factores primos distintos).De la fórmula:63 = T – r – 1T – r = 643. InterpretaciónNecesitamos que:total de divisores – número de factores primos distintos = 64.4. Factorización de 12n12 = 2² × 3¹n = 2^a × 3^b × p₁^c₁ × p₂^c₂ × ... (p₁, p₂ son otros primos).Entonces:12n = 2^(a+2) × 3^(b+1) × p₁^c₁ × p₂^c₂ × ...5. Total de divisoresT = (a+3) × (b+2) × (c₁+1) × (c₂+1) × ...Cada factor de la multiplicación corresponde al exponente de un primo más 1.6. Ecuación a cumplir(a+3) × (b+2) × (c₁+1) × (c₂+1) × ... – r = 64Aquí r es el número de factores primos distintos en 12n (mínimo 2 porque ya están el 2 y el 3).7. Búsqueda rápidaSi r = 3: T = 67 → imposible, porque 67 es primo y no se puede obtener como producto de tres enteros mayores que 1.Si r = 4: T = 68 → no se puede con todos los factores mayores que 1 sin que uno salga igual a 1 (lo que quitaría un primo).Si r = 5: T = 69 → lo mismo, no se puede.Si r = 6: T = 70 → sí se puede (por ejemplo 2 × 5 × 7 = 70, todos mayores que 1).8. ConstrucciónSi r = 6, tenemos 6 primos distintos en 12n: 2, 3 y 4 primos más.Para que T = 70, una opción es:(a+3) = 2 → a = -1 (imposible porque exponente negativo no vale)Debemos ajustar la factorización para que uno de los factores 2, 3, etc., corresponda a 2, 3 o más.Una solución posible:a+3 = 5 → a = 2b+2 = 2 → b = 0c₁+1 = 7 → c₁ = 6c₂+1 = 1 → no sirve porque perderíamos un primo (y necesitamos 6 distintos).Esto significa que los exponentes deben elegirse con cuidado para que todos los primos se mantengan.
