Una vaca atada una cuerda de 2 m de largo puede comer la hierba que está a su alcance en 30 días ¿cuántos días demora si la cuerda fuese de 4 m de largo?
Answer (1)
Si la cuerda fuese de 4 metros de largo la vaca demoraría 120 días para comer la hierba a su alcanceDado que una vaca que está atada a una cuerda de 2 metros de largo puede comer la hierba que está a su alcance en 30 díasSe requiere saber cuantos días demoraría la vaca en consumir la hierba si la cuerda que la sujeta fuese de 4 metros de largoEl área de pastoreo de la vaca resulta ser un círculo, en donde la longitud de la cuerda que la sujeta es el radio de dicho círculo por donde el animal puede moverseDeterminamos el área de pastoreo inicialLuego calculamos el área de pastoreo inicial de la vaca sujeta a una cuerda de 2 metros de largoHallamos el área inicial empleando la fórmula para calcular el área de un círculo[tex]\large\boxed{ \bold{A =\pi \cdot r^2} }[/tex][tex]\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex][tex]\boxed{ \bold{ A_{1} = \pi \cdot (2 \ m )^2 }}[/tex][tex]\boxed{ \bold{ A_{1} = \pi \cdot 4 \ m ^2 }}[/tex][tex]\large\boxed{ \bold{ A_{1} = 4 \pi \ m ^2 }}[/tex]Por tanto el área inicial de pastoreo de la vaca es de 4 π metros cuadradosHallamos el área de pastoreo finalLuego calculamos el área de pastoreo final de la vaca sujeta a una cuerda de 4 metros de largoHallamos el área final empleando la fórmula para calcular el área de un círculo[tex]\large\boxed{ \bold{A =\pi \cdot r^2} }[/tex][tex]\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex][tex]\boxed{ \bold{ A_{2} = \pi \cdot (4 \ m )^2 }}[/tex][tex]\boxed{ \bold{ A_{2} = \pi \cdot 16 \ m ^2 }}[/tex][tex]\large\boxed{ \bold{ A_{2} = 16 \pi \ m ^2 }}[/tex]Por tanto el área final de pastoreo de la vaca es de 16 π metros cuadradosEstablecemos una relación de proporcionalidad:[tex]\large\boxed{ \bold{ \frac{ A_{1} }{ d_{1} } = \frac{ A_{2} }{ d_{2} } }}[/tex][tex]\large\textsf{Reemplazamos valores }[/tex][tex]\boxed{ \bold{ \frac{ 4 \pi \ m ^2 }{ 30 \ d } = \frac{ 16 \pi \ m ^2 }{ x\ d } }}[/tex]Donde se observa que al aumentar una magnitud la otra también lo hace en la misma proporción y viceversaLuego calculamos los días que demoraría la vaca en comer la hierba atada a una cuerda de 4 metros de largoNotando que a mayor superficie que dispone la vaca para comer la hierba a su alrededor mayor cantidad de días tardará en consumirlaSe ve que la proporción es directaEntonces resolvemos la incógnita por medio de una regla de tres simple directamente proporcionalPlanteamos[tex]\bold { 4 \pi \ m ^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to \ \ 30 \ d\'ias}[/tex][tex]\bold { 16 \pi \ m ^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to \ \ x \ d\'ias}[/tex][tex]\boxed{ \bold{x = \frac{ 16 \pi \ m ^2 \cdot 30 \ d\'ias }{4 \pi \ m ^2 } }}[/tex][tex]\textsf{Cancelamos unidades equivalentes }[/tex][tex]\boxed{ \bold{x = \frac{ 16 \not \pi \not m ^2 \cdot 30 \ d\'ias }{4 \not \pi \not m ^2 } }}[/tex][tex]\boxed{ \bold{x = \frac{ 16 \cdot 30}{4 } \ d\'ias }}[/tex][tex]\boxed{ \bold{x = \frac{480}{4 } \ d\'ias }}[/tex][tex]\large\boxed{ \bold{x = 120 \ d\'ias }}[/tex]Por tanto si la longitud de la cuerda que sujeta a la vaca fuese de 4 metros de largo esta demoraría 120 días en comer la hierba a su alcance
