encontramos las ecuaciones de las siguientes elipses y mostremos sus gráficas
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Respuesta:Explicación paso a paso:La ecuación de una elipse de centro (h,k) y focos sobre la recta y = kes [tex]\dfrac{(x-h)^{2} }{a^{2} }+\dfrac{(y-k)^{2} }{b^{2} } =1[/tex] Los valores de [tex]a^{2}[/tex] y [tex]b^{2}[/tex] se intercambian de posición si los focos están sobre la recta x = h. 1. La elipse tiene vértices V=(9,6) y V=(-1,6) y focos F (7,6) y F=(7,6) Asumimos que hay un error y corregimos la posición del foco F=(1,6) para que se pueda definir la elipse requerida. Las coordenadas del centro de la elipse : Como la coordenada y de cada vértice es 6, la elipse tiene centro en la recta y = 6 . La coordenada x es el valor medio entre las coordenadas x de los vértices: [tex]h=\dfrac{-1+9}{2}=4[/tex]Así el vértices es (4,6) Por propiedad de la elipse sabemos que : [tex]c^{2}=a^{2}-b^{2}[/tex]c = distancia del centro al foco a = distancia del centro al vértice c = 7-4= 3 a = 9-4 = 5Entonces [tex]3^{2}=5^{2}-b^{2}[/tex][tex]b^{2}=25-9[/tex][tex]b^{2}=16[/tex] por lo tanto b = 4Así la ecuación de la elipse resulta: [tex]\dfrac{(x-4)^{2} }{25 }+\dfrac{(y-6)^{2} }{16 } =1[/tex]2. Los datos no corresponden a una elipse posible.3. Focos (5,2) y (3,2) y excentricidad 1/3 La elipse tiene su diámetro principal en y = 2 (por la coincidencia en las ordenadas de los focos) El centro de la elipse tiene ordenada 2 y su abscisa el punto medio de los focos [tex]h= \dfrac{3+2}{2}=4[/tex]Por lo tanto el centro tiene coordenadas (4,2) La excentricidad es [tex]\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{3}[/tex]Por lo tanto como c = distancia del centro al foco = 5-4 = 1 se tiene: [tex]\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{3}[/tex] por lo que a = 3 Desde la relación [tex]c^{2}=a^{2}-b^{2}[/tex]c = distancia del centro al foco = 1a =3Entonces [tex]1^{2}=3^{2}-b^{2}[/tex][tex]b^{2}=9-1[/tex][tex]b^{2}=8[/tex] Así la ecuación de la elipse resulta: [tex]\dfrac{(x-4)^{2} }{9 }+\dfrac{(y-2)^{2} }{8 } =1[/tex]4. Centro en (4,-1) uno de sus focos (1,-1) y pasa por (8,0) Al coincidir las ordenadas del centro y el foco podemos deducir que el diámetro mayor de la elipse está sobre la línea y = -1 La ecuación puede escribirse como : [tex]\dfrac{(x-4)^{2} }{a^{2} }+\dfrac{(y+1)^{2} }{b^{2} } =1[/tex] Como pasa por el punto (8,0) sustituimos en la ecuación: [tex]\dfrac{(8-4)^{2} }{a^{2} }+\dfrac{(0+1)^{2} }{b^{2} } =1[/tex][tex]\dfrac{16 }{a^{2} }+\dfrac{1 }{b^{2} } =1[/tex]Por otro lado c = distancia del centro al foco = 4-1 = 3 entonces : [tex]3^{2}=a^{2}-b^{2}[/tex][tex]9=a^{2}-b^{2}[/tex]Así por ejemplo: [tex]b^{2}=a^{2}-9[/tex]Y reemplazando en la ecuación [tex]\dfrac{16 }{a^{2} }+\dfrac{1 }{a^{2}-9 } =1[/tex]Trabajando la ecuación [tex]\dfrac{16(a^{2}-9) }{(a^{2}-9)a^{2} }+\dfrac{a^{2} }{a^{2}(a^{2}-9) } =1[/tex][tex]\dfrac{16a^{2}-144+a^{2} }{(a^{2}-9)a^{2} } =1[/tex][tex]17a^{2}-144=a^{2}(a^{2}-9)[/tex][tex]17a^{2}-144=a^{4}-9a^{2}[/tex][tex]a^{4}-26a^{2}+144=0[/tex]Resolviendo la ecuación bicuadrada [tex]t^{2} -26t+144=0[/tex] con [tex]a^{2} = t[/tex] se obtienen t = 18 y t = 8 Pero para que [tex]b^{2}[/tex] resulte positivo debemos usar [tex]a^{2}= 18[/tex]Entonces [tex]b^{2}=18-9=9[/tex] y la ecuación resulta: [tex]\dfrac{(x-4)^{2} }{18}+\dfrac{(y+1)^{2} }{9 } =1[/tex]5. No puede determinarse con esos datos. 6. La ecuación general de la elipse es [tex]4x^{2} +y^{2} -16x+6y-75=0[/tex]Trabajamos la ecuación para llevarla a la forma canónica: [tex]4(x^{2} -4x)+y^{2}+6y -75=0[/tex]Completamos cuadrados [tex]4(x^{2} -4x+4)-16+y^{2}+6y+9-9 -75=0[/tex][tex]4(x-2)^{2}-16+(y+3)^{2}-9 -75=0[/tex][tex]4(x-2)^{2}+(y+3)^{2}-100=0[/tex][tex]4(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=100[/tex]Dividimos entre 100[tex]\dfrac{(x-2)^{2} }{25 }+\dfrac{(y+3)^{2} }{100 } =1[/tex]El centro de la elipse es (2,-3) [tex]a^{2}= 100[/tex], a = 10 [tex]b^{2}= 25[/tex], b = 5[tex]c^{2} = 100-25[/tex][tex]c= \sqrt{75}= 5\sqrt{3}[/tex]Entonces F1 = [tex](2,-3+5\sqrt{3})[/tex] F2 = ([tex](2,-3-5\sqrt{3})[/tex]V1 = (2,7) , V2 = (2,-13) Excentricidad : [tex]\frac{c}{a}=\frac{5\sqrt{3} }{10} =\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]Lado recto : [tex]\frac{2b^{2} x}{a}=\frac{2*25}{10} = 5[/tex]
