un ratoncito observa las parte mas alta de un poste en un angulo de elavacion de 30 a 12m
Answer (1)
La altura h del poste es de 4√3 metros o de aproximadamente 6.93 metros Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.Donde el triángulo dado de 30-60 resulta ser lo que se denomina un triángulo notableLa altura del poste junto con el suelo -donde este se asienta- forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del poste, el lado AC (b) que representa la distancia horizontal desde cierto punto en el suelo -ubicado en A, donde se encuentra el ratoncito observador- hasta la base del poste y el lado AB (c) que es la línea visual desde ese punto en el suelo, -donde se halla el ratoncito observador- hasta la cima del poste, la cual es vista con un ángulo de elevación de 30°Donde se pide calcular:La altura h del posteEsto se puede observar en el gráfico adjuntoConocemos la distancia desde cierto punto en en suelo- donde se ubica el ratoncito observador- hasta la base del poste y de un ángulo de elevación de 30°Distancia desde el observador hasta la base del poste = 12 metrosÁngulo de elevación = 30°Debemos hallar la altura h del posteSi la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la distancia desde cierto punto en el suelo -donde se ubica el ratoncito observador- hasta la base del poste y conocemos un ángulo de elevación de 30° y debemos hallar la medida de la altura h del poste, la cual es el cateto opuesto al ángulo dado del triángulo rectángulo determinamos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α para determinar la incógnitaRazones trigonométricas con ángulos notablesHallamos la altura h del posteRelacionamos los datos con la tangente del ángulo α [tex]\bold{\alpha =30^o}[/tex]Como el triángulo es notable de 30-60 al conocer el valor del cateto adyacente al ángulo de 30°, para hallar la dimensión del cateto opuesto basta dividir el valor del cateto adyacente al ángulo de 30° entre √3Los cálculos nos darán la razónPlanteamos[tex]\boxed{\bold { tan(30^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }[/tex][tex]\boxed{\bold { tan(30^o) = \frac{ altura\ del \ poste }{ distancia \ al \ poste } } }[/tex][tex]\boxed{\bold { altura\ del \ poste = distancia \ al \ poste \cdot tan(30^o) } }[/tex]Como tenemos un ángulo notable[tex]\large \textsf{El valor exacto de tan de 30 grados es } \bold { \frac{\sqrt{3} }{3} }[/tex][tex]\boxed{\bold { altura\ del \ poste= 12 \ m \cdot tan(30^o) } }[/tex][tex]\boxed{\bold { altura\ del \ poste= 12 \ m \cdot \frac{\sqrt{3} }{3} } }[/tex][tex]\textsf{Simplificando }[/tex][tex]\boxed{\bold { altura \ del \ poste= 4 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3} }{3} \ m } }[/tex][tex]\boxed{\bold { altura \ del \ poste= 4 \cdot \not3 \cdot \frac{\sqrt{3} }{\not3} \ m } }[/tex][tex]\large\textsf{Expresado en Forma Exacta: }[/tex][tex]\large\boxed{\bold { altura \ del \ poste = 4 \sqrt{3} \ metros } }[/tex][tex]\large\textsf{Expresado de manera decimal: }[/tex][tex]\boxed{\bold { altura \ del \ poste \approx 6.928 \ metros } }[/tex][tex]\textsf{Redondeando }[/tex][tex]\large\boxed{\bold { altura \ del \ poste \approx 6.93 \ metros } }[/tex]Luego la altura h del poste es de 4√3 metros o de aproximadamente 6.93 metrosSe agrega gráfico a escala para mejor comprensión del problema propuesto, donde se comprueba el resultado obtenidoNota: Se agrega como archivo adjunto el enunciado completo para este problema
