1) Una prueba de inteligencia está compuesta de 10 preguntas, cada una de las cuales tiene cuatro respuestas, siendo solo una de ellas correcta. Un alumno tiene prisa por acabar la prueba y decide contestar de forma aleatoria. Calcule: a) Probabilidad de no acertar ninguna pregunta. b) Probabilidad de acertar exactamente cuatro preguntas. c) Probabilidad de acertar todas las preguntas.
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Respuesta y Explicación:Para resolver este problema, utilizaremos la distribución binomial, que es útil para situaciones con un número fijo de intentos (n), donde cada intento tiene solo dos resultados posibles (éxito o fracaso) y la probabilidad de éxito (p) es constante en cada intento.Definimos los parámetros de la distribución: Número de intentos (n): 10 (las 10 preguntas).Probabilidad de éxito (p): La probabilidad de acertar una pregunta. Como hay 4 respuestas y solo 1 es correcta, p= [tex]\frac{1}{4}[/tex] =0.25.Probabilidad de fracaso (q): La probabilidad de no acertar una pregunta. q=1−p =1−0.25=0.75.Número de éxitos deseados (k): Varía según cada pregunta.La fórmula de la probabilidad binomial es:[tex]P(x=k)=\displaystyle \binom{n}{k}. p^{k}.q^{n-k}[/tex]⋅ donde [tex]\displaystyle \binom{n}{k}[/tex] es el coeficiente binomial, calculado como [tex]\displaystyle \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}[/tex]Resolvemos ahora: a) Probabilidad de no acertar ninguna preguntaAquí, el número de éxitos deseados es k=0.P(X=0)=[tex]P(x=0)=\displaystyle \binom{10}{0}. 0.25^{0}.0.75^{10-0}[/tex] = [tex]0.75^{10}[/tex] ≈0.0563P(X=0) =0.0563La probabilidad de no acertar ninguna pregunta es de 5.63%.b) Probabilidad de acertar exactamente cuatro preguntasAquí, el número de éxitos deseados es k=4.[tex]P(x=4)=\displaystyle \binom{10}{4}. 0.25^{4}.0.75^{10-4}[/tex] = [tex]\frac{10!}{4!(10-4)!} 0.25^{4}.0.75^{6} =[/tex] = [tex]210*0.00390625 *0.1779785 =[/tex] ≈0.146 P(X=4)≈0.146La probabilidad de acertar exactamente cuatro preguntas es de 14.6%.c) Probabilidad de acertar todas las preguntasAquí, el número de éxitos deseados es k=10.[tex]P(x=10)=\displaystyle \binom{10}{10}. 0.25^{10}.0.75^{10-10}[/tex] = 1* 0.00000095367* 1 = ≈ 0.00000095367La probabilidad de acertar todas las preguntas es de aproximadamente 0.000095%.
