Demostracion de la inversa multiplicativa y verifique si el inverso lo cumple
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Respuesta:Explicación:Sea a un número real tal que ≠0a=0. Definimos el inverso multiplicativo de a como el número −1a−1 que cumple:⋅−1=1.a⋅a−1=1.Proponemos que −1=1a−1=a1 . Verificamos:⋅1==1,a⋅a1 =aa =1,porque ≠0a=0. Por tanto 1a1 es un inverso multiplicativo de a.Unicidad del inversoSupongamos que b y c son dos inversos multiplicativos de a. Entonces=1y=1.ab=1yac=1.Multiplicando la primera igualdad por c y usando la segunda:()=1⋅⇒()=.(ab)c=1⋅c⇒a(bc)=c.Pero como =1ac=1, multiplicamos por b:()=⋅1⇒()=.b(ac)=b⋅1⇒(ba)c=b.Usando conmutatividad de los reales ==1ba=ab=1, queda 1⋅=1⋅c=b, es decir =c=b.Por lo tanto el inverso es único.Verificación práctica (ejemplos)Si =5a=5, su inverso es −1=15a−1=51 . Verificamos:5⋅15=1.5⋅51 =1.Si =−3a=−3, su inverso es −13−31 . Verificamos:(−3)⋅(−13)=1.(−3)⋅(−31 )=1.Si =27a=72 , su inverso es 7227 . Verificamos:27⋅72=1.72 ⋅27 =1.ObservacionesLa inversión multiplicativa solo existe para elementos distintos de cero.En estructuras algebraicas distintas (por ejemplo, matrices cuadradas invertibles o Zp con p primo) la definición es análoga: −1A−1 es tal que −1=AA−1=I (matrices) o ⋅−1≡1(mod)a⋅a−1≡1(modp) (aritmética modular), y la demostración de unicidad es similar.
