un objeto en movimiento con aceleración constante recorre 100 m si la segunda mitad del trayecto le toma el doble del tiempo que la primera mitad ¿Cuál fue su velocidad inicial y su aceleración?
Answer (1)
Respuesta:Definición de variables Se definen las siguientes variables: \(x_{0}=0\text{\ m}\) es la posición inicial. \(x_{f}=100\text{\ m}\) es la posición final. \(x_{1}=50\text{\ m}\) es la posición a la mitad del trayecto. \(t_{1}\) es el tiempo transcurrido en la primera mitad del trayecto. \(t_{2}\) es el tiempo transcurrido en la segunda mitad del trayecto. \(v_{0}\) es la velocidad inicial. \(a\) es la aceleración constante. .rPeykc.uP58nb.MNX06c{font-size:var(--m3t1);font-weight:normal;letter-spacing:normal;line-height:var(--m3t2);margin:10px 0 10px 0} Establecimiento de ecuaciones Se utilizan las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA): La ecuación de posición es \(x=v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2}\). La ecuación de velocidad es \(v=v_{0}+at\). .f5cPye ol{font-size:var(--m3t7);line-height:var(--m3t8);margin:10px 0 20px 0;padding-inline-start:24px}.f5cPye .WaaZC:first-of-type ol:first-child{margin-top:0}.f5cPye ol.qh1nvc{font-size:var(--m3t7);line-height:var(--m3t8)}.zMgcWd{padding-bottom:16px;padding-top:8px;border-bottom:none}.dSKvsb{margin-inline-start:-28px;padding-bottom:0}.GmFi7{display:flex;width:100%}.f5cPye li:first-child .zMgcWd{padding-top:0}.f5cPye li:last-child .zMgcWd{border-bottom:none;padding-bottom:0}.xFTqob{flex:1;min-width:0}.Gur8Ad{font-size:var(--m3t11);font-weight:500;line-height:var(--m3t12);overflow:hidden;padding-bottom:4px;transition:transform 200ms cubic-bezier(0.20,0.00,0.00,1.00)}.vM0jzc{color:var(--m3c10);font-size:var(--m3t7);letter-spacing:0.1px;line-height:var(--m3t8)}.vM0jzc ul,.vM0jzc ol{font-size:var(--m3t7) !important;line-height:var(--m3t8) !important;margin-top:8px !important}.vM0jzc li ul,.vM0jzc li ol{font-size:var(--m3t9) !important;letter-spacing:0.1px !important;line-height:var(--m3t10) !important;margin-top:0 !important}.vM0jzc ul li{list-style-type:disc}.vM0jzc ui li li{list-style-type:circle}.vM0jzc .rPeykc:first-child{margin-top:0} Resolución del problema Se establecen las ecuaciones para la primera mitad del trayecto: Para la posición: \(x_{1}=v_{0}t_{1}+\frac{1}{2}at_{1}^{2}\). Sustituyendo valores: \(50=v_{0}t_{1}+\frac{1}{2}at_{1}^{2}\quad (1)\). Para la velocidad al final de la primera mitad: \(v_{1}=v_{0}+at_{1}\). Se establecen las ecuaciones para la segunda mitad del trayecto: El tiempo total es \(t=t_{1}+t_{2}\). Se sabe que \(t_{2}=2t_{1}\), por lo tanto, \(t=t_{1}+2t_{1}=3t_{1}\). Para la posición final: \(x_{f}=v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2}\). Sustituyendo valores: \(100=v_{0}(3t_{1})+\frac{1}{2}a(3t_{1})^{2}\). Simplificando: \(100=3v_{0}t_{1}+\frac{9}{2}at_{1}^{2}\quad (2)\). Se resuelve el sistema de ecuaciones: Se multiplica la ecuación \((1)\) por \(9\): \(450=9v_{0}t_{1}+\frac{9}{2}at_{1}^{2}\quad (3)\). Se resta la ecuación \((2)\) de la ecuación \((3)\): \(450-100=(9v_{0}t_{1}+\frac{9}{2}at_{1}^{2})-(3v_{0}t_{1}+\frac{9}{2}at_{1}^{2})\). Simplificando: \(350=6v_{0}t_{1}\). Se despeja \(v_{0}t_{1}\): \(v_{0}t_{1}=\frac{350}{6}=\frac{175}{3}\). Se sustituye \(v_{0}t_{1}\) en la ecuación \((1)\) para encontrar \(at_{1}^{2}\): \(50=\frac{175}{3}+\frac{1}{2}at_{1}^{2}\). \(\frac{1}{2}at_{1}^{2}=50-\frac{175}{3}=\frac{150-175}{3}=-\frac{25}{3}\). \(at_{1}^{2}=-\frac{50}{3}\). Se utiliza la ecuación de velocidad para la primera mitad del trayecto y la relación de tiempos: La distancia recorrida en la segunda mitad es \(x_{f}-x_{1}=100-50=50\text{\ m}\). La ecuación de posición para la segunda mitad, usando \(v_{1}\) como velocidad inicial y \(t_{2}\) como tiempo: \(50=v_{1}t_{2}+\frac{1}{2}at_{2}^{2}\). Sustituyendo \(t_{2}=2t_{1}\) y \(v_{1}=v_{0}+at_{1}\): \(50=(v_{0}+at_{1})(2t_{1})+\frac{1}{2}a(2t_{1})^{2}\). \(50=2v_{0}t_{1}+2at_{1}^{2}+\frac{1}{2}a(4t_{1}^{2})\). \(50=2v_{0}t_{1}+2at_{1}^{2}+2at_{1}^{2}\). \(50=2v_{0}t_{1}+4at_{1}^{2}\). Se sustituyen los valores de \(v_{0}t_{1}\) y \(at_{1}^{2}\) en la ecuación obtenida en el paso anterior: \(50=2\left(\frac{175}{3}\right)+4\left(-\frac{50}{3}\right)\). \(50=\frac{350}{3}-\frac{200}{3}\). \(50=\frac{150}{3}\). \(50=50\). Esta igualdad confirma la consistencia de las ecuaciones. Se utiliza la ecuación de velocidad final para el trayecto completo: \(v_{f}^{2}=v_{0}^{2}+2ax_{f}\). \(v_{f}^{2}=v_{0}^{2}+2a(100)\). \(v_{f}^{2}=v_{0}^{2}+200a\). Se utiliza la ecuación de velocidad final para la primera mitad del trayecto: \(v_{1}^{2}=v_{0}^{2}+2ax_{1}\). \(v_{1}^{2}=v_{0}^{2}+2a(50)\). \(v_{1}^{2}=v_{0}^{2}+100a\). Se considera la relación de tiempos y la ecuación de velocidad: \(v_{f}=v_{0}+a(3t_{1})\). \(v_{1}=v_{0}+at_{1}\). Restando las ecuaciones: \(v_{f}-v_{1}=2at_{1}\). Se utiliza la relación de distancias y tiempos: \(x_{1}=v_{0}t_{1}+\frac{1}{2}at_{1}^{2}=50\). \(x_{f}-x_{1}=v_{1}t_{2}+\frac{1}{2}at_{2}^{2}=50\). Sustituyendo \(t_{2}=2t_{1}\): \(50=v_{1}(2t_{1})+\frac{1}{2}a(2t_{1})^{2}=2v_{1}t_{1}+2at_{1}^{2}\). Se tiene un
