Se define un número entero positivo n menor que 150. Se sabe que n tiene exactamente 6 divisores positivos distintos y que la suma de sus divisores es igual a 3n+4 . ¿Cuántos valores de n cumplen esta función?
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Respuesta:No hay ningún valor n que verifique la condición pedida.Explicación paso a paso:Sea n un número tal que [tex]n < 150[/tex] y tal que tiene 6 divisoresEntonces [tex]n= p^{5}[/tex] con p primo o [tex]n= p^{2} _{1}*p_{2}[/tex] con p1 y p2 primosAnalicemos los dos casos:1) Si [tex]n= p^{5}[/tex]Los divisores de n son {1, [tex]p, p^{2}, p{3}, p^{4}, p^{5}[/tex] }Según dice lo que hay que buscar la suma de los divisores es 3n+4Entonces podemos escribir que [tex]1+p+ p^{2}+ p^{3}+ p^{4}+ p^{5} = 3p^{5} +4[/tex]Lo que se traduce en la ecuación polinómica [tex]- 2 p^{5} + p^{4}+p^{3}+p^{2} +p-3 =0[/tex]No hay valores p primos que lo cumplan ya que las raíces enteras primas del polinomio sólo sería 3 (por teorema de Gauss) y p = 3 no satisface la ecuación.Por lo tanto este caso no nos provee ninguna solución Analizamos el caso donde [tex]n= p^{2} _{1}*p_{2}[/tex] con p1 y p2 primos distintos. Los divisores de n son { [tex]1, p_{1}, p^{2} _{1}, p_{2} , p_{1}*p_{2} , p^{2} _{1}*p_{2}[/tex] }Entonces la condición nos permitiría escribir [tex]1 + p_{1} + p^{2} _{1} + p_{2} + p_{1}*p_{2} + p^{2} _{1}*p_{2} = 3p^{2} _{1}*p_{2} +4[/tex]que podemos reducir más simplemente a [tex]0 = 2p^{2} _{1}*p_{2} - p_{1}- p^{2} _{1} - p_{2} - p_{1}*p_{2} +3[/tex]Esta ecuación no se anula para ningún p1 y p2 primo Por lo tanto no hay ningún valor n que verifique la condición pedida.
