Calcular las coordenadas de un punto situado en el eje de abscisas que equidiste de los puntos A(-3;6) y B(7;4).
Answer (1)
El punto P situado en el eje de abscisas que equidista de los puntos A(-3,6) y B(7,4) se encuentra en el punto o par ordenado P(1,0)Dados dos puntos A(-3,6) y B(7,4)Se pide determinar las coordenadas de un punto P el cual se encuentra en el eje de las abscisas y que equidiste de los puntos conocidos A y BComo el punto P buscado está situado en el eje de abscisas, su segunda coordenada es ceroPor tanto conocemos para el punto P requerido el valor de la ordenada del punto -la cual es cero- desconociendo el valor de la abscisa Luego[tex]\large \textsf{P (x,0)}[/tex]Debiendo determinar el valor de la abscisa del punto PEmplearemos la fórmula de la distancia entre dos puntos[tex]\large\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }[/tex]Determinamos la distancia entre el punto A y el punto P[tex]\bold{A (-3,6) \ \ \ P(x,0)}[/tex][tex]\boxed{ \bold { D\ \overline {AP} = \sqrt{(x-(-3) )^{2} +(0-6)^{2} } } }[/tex][tex]\boxed{ \bold { D\ \overline {AP} = \sqrt{(x+3 )^{2} +(0-6)^{2} } } }[/tex][tex]\boxed{ \bold { D\ \overline {AP} = \sqrt{(x+3 )^{2} +(-6)^{2} } } }[/tex]Determinamos la distancia entre el punto B y el punto P[tex]\bold{B (7,4) \ \ \ P(x,0)}[/tex][tex]\boxed{ \bold { D\ \overline {BP} = \sqrt{(x-7) )^{2} +(0-4)^{2} } } }[/tex][tex]\boxed{ \bold { D\ \overline {BP} = \sqrt{(x-7 )^{2} +(-4)^{2} } } }[/tex]Como el punto P equidista de los puntos A y B[tex]\boxed{ \bold { D\ \overline {AP} = D\ \overline {BP} } }[/tex]Por lo tanto igualamos las ecuaciones de distancia para determinar la abscisa del punto P[tex]\large\textsf{Resolvemos para x para determinar la abscisa de P}[/tex][tex]\boxed{ \bold { \sqrt{(x+3 )^{2} +(-6)^{2} } = \sqrt{(x-7 )^{2} +(-4)^{2} } } }[/tex][tex]\textsf{Eliminamos los radicales }[/tex][tex]\boxed{ \bold { \left( \sqrt{(x+3)^{2} +(-6)^{2} }\right )^{2} = \left( \sqrt{(x-7)^{2} +(-4)^{2} }\right )^{2} } }[/tex][tex]\boxed{ \bold { (x+3)^{2} +(-6)^{2} =(x-7)^{2} +(-4)^{2} } }[/tex][tex]\boxed{ \bold { (x+3)^{2} +36 =(x-7)^{2} +16 } }[/tex][tex]\boxed{ \bold { x^{2} +6x+9+36 = x^{2} -14x+49+16 } }[/tex][tex]\boxed{ \bold { x^{2} +6x+45 = x^{2} -14x+65 } }[/tex][tex]\boxed{ \bold { x^{2}-x^{2} +6x+14x =65-45 } }[/tex][tex]\boxed{ \bold { \not x^{2}-\not x^{2} +6x+14x =65-45 } }[/tex][tex]\boxed{ \bold { 6x+14x =65-45 } }[/tex][tex]\boxed{ \bold { 20x =20 } }[/tex][tex]\boxed{ \bold { x =\frac{20}{20} } }[/tex][tex]\large\boxed{ \bold { x =1 } }[/tex]Por tanto el valor de la abscisa del punto P es igual a 1Obteniendo[tex]\large \textsf{P (1, 0)}[/tex][tex]\bold{x_{P} =1}[/tex][tex]\bold{y_{P} =0}[/tex]Luego el punto P situado en el eje de abscisas que equidista de los puntos A(-3,6) y B(7,4) se encuentra en el punto o par ordenado P(1,0)Se agrega gráfico
