(ayuda es para hoy ) doy corona
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Respuesta:Problema 1: Contar palitos en una figuraEl primer problema pide calcular el número total de palitos que forman la figura. La figura está compuesta por una serie de triángulos uno sobre otro, formando una pirámide de 20 niveles.Si analizamos los primeros niveles, podemos encontrar un patrón:Nivel 1: 3 palitos (1 triángulo)Nivel 2: 9 palitos (4 triángulos). Se añade una fila de 3 triángulos por debajo, que son 6 palitos más.Nivel 3: 18 palitos (9 triángulos). Se añade una fila de 5 triángulos por debajo, que son 9 palitos más.La forma más sencilla de resolverlo es analizando la cantidad de palitos en cada fila horizontal y diagonal.La cantidad de palitos en las filas horizontales sigue una secuencia: 1, 2, 3, 4, ..., 20. La suma de estos es la suma de los primeros 20 números, que se calcula con la fórmula n(n+1)/2.En este caso, 20(20+1)/2 = 20(21)/2 = 10(21) = 210.Como la figura tiene dos series de diagonales (una que va de izquierda a derecha y otra de derecha a izquierda), la cantidad de palitos en las diagonales también sigue la misma secuencia, sumando un total de 210 por cada serie.Por lo tanto, el número total de palitos es la suma de los palitos horizontales más los palitos de las dos series diagonales:210 + 210 + 210 = 630Sin embargo, en la imagen, las opciones de respuesta no incluyen 630. Revisemos el patrón de crecimiento de los triángulos:Nivel 1: 1 \times 3 = 3 palitos.Nivel 2: 3 + 2 \times 3 = 9 palitos.Nivel 3: 9 + 3 \times 3 = 18 palitos.Nivel 4: 18 + 4 \times 3 = 30 palitos.La secuencia de palitos totales es: 3, 9, 18, 30... que se puede expresar con la fórmula 3 \times (n(n+1)/2), donde n es el número de niveles.Para 20 niveles, aplicamos la fórmula:3 \times (20(20+1)/2) = 3 \times (210) = 630.La respuesta correcta es 630. Dado que las opciones proporcionadas son A) 710, B) 690, C) 700, D) 560, E) 620, parece haber un error en las opciones del ejercicio.Problema 2: Contar la palabra "COTORRO"El segundo problema pide calcular de cuántas maneras se puede leer la palabra "COTORRO" en la figura de la derecha. Las letras están dispuestas en forma de un triángulo.Para resolver este tipo de problemas, se puede usar un método de conteo o el Triángulo de Pascal.Método de conteo: Se trata de contar la cantidad de caminos que se pueden seguir para llegar a cada letra.La primera C (la de arriba) es 1 camino.Para llegar a cada O, hay 1 camino (desde la C).Para llegar a cada T, la de los extremos hay 1 camino, y la del centro, 1 + 1 = 2 caminos.Y así sucesivamente, sumando los caminos de las letras superiores.Triángulo de Pascal (Binomio de Newton): Este método es más rápido. La cantidad de caminos para llegar a la letra en la posición k en una fila n del triángulo de Pascal es \binom{n}{k}, donde \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}.La palabra "COTORRO" tiene 7 letras. Esto significa que hay 6 pasos que dar hacia abajo. La forma de contar es contar los caminos hasta la última letra.C: 1 caminoO: 1 + 1 = 2 caminosT: 1 + 2 + 1 = 4 caminosO: 1 + 3 + 3 + 1 = 8 caminosR: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 caminosR: 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 caminosO: 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 caminosLa cantidad total de maneras de leer "COTORRO" es la suma de los valores de la última fila, que corresponde a 2^{n-1}, donde n es el número de letras.En este caso, n=7, por lo tanto, la cantidad de formas es 2^{7-1} = 2^6 = 64.Las opciones de respuesta son: A) 48, B) 52, C) 64, D) 56, E) 65.La respuesta correcta es la opción C) 64.
