El parque hotelero de una determinada zona turistica consta de 4200 hoteles. Se basa que 1150 de estos hoteles son de 4 y 5 estrellas, 2120son de 3 estrellas y 930 de menos de 3 estrellas. Se pide: Determine el total de encuestas que habria que realizar para estimar el grado de ocupacion, con un error maximo del 5,5% y con una confianza de 94,5%. Tenga en cuenta que,por estudios anteriores, respectivamente del 70%, 90% y 60% ¿Cual seria el correspondiente tamaño muestral ?
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Respuesta:Calculo del tamaño de la muestraEl tamaño de la muestra se calcula utilizando la fórmula para poblaciones finitas, ya que se conoce el número total de hoteles (4200). La fórmula es la siguiente:n = \frac{N \cdot Z^2 \cdot p \cdot q}{e^2 \cdot (N-1) + Z^2 \cdot p \cdot q}Donde: * n es el tamaño de la muestra. * N es el tamaño de la población (4200 hoteles). * Z es el valor crítico de la distribución normal estándar para el nivel de confianza. * p es la proporción de la población que tiene la característica de interés (grado de ocupación). * q es 1-p. * e es el error máximo permitido (5,5%).1. Determinar los valores necesarios * Nivel de confianza: 94,5% * Para un nivel de confianza del 94,5%, el valor de Z es 1,92. Esto se obtiene buscando el valor de 0,945 en la tabla de la distribución normal estándar, o más comúnmente, buscando el valor que deja 0,0275 en cada cola (1 - 0,945 = 0,055, y 0,055/2 = 0,0275). * Error máximo (e): 5,5% o 0,055. * Proporción (p): Se nos dan tres proporciones de ocupación según la categoría de hoteles. Para el cálculo del tamaño total de la muestra, se utiliza el promedio ponderado de estas proporciones. * Hoteles de 4 y 5 estrellas: 1150 hoteles con un 70% de ocupación. * Hoteles de 3 estrellas: 2120 hoteles con un 90% de ocupación. * Hoteles de menos de 3 estrellas: 930 hoteles con un 60% de ocupación. La proporción ponderada (p) se calcula así: p = \frac{(1150 \cdot 0,70) + (2120 \cdot 0,90) + (930 \cdot 0,60)}{4200} p = \frac{805 + 1908 + 558}{4200} p = \frac{3271}{4200} \approx 0,7788 * q: * q = 1 - p = 1 - 0,7788 = 0,22122. Sustituir los valores en la fórmulaAhora, se sustituyen todos los valores en la fórmula del tamaño de la muestra:n = \frac{4200 \cdot (1,92)^2 \cdot 0,7788 \cdot 0,2212}{(0,055)^2 \cdot (4200-1) + (1,92)^2 \cdot 0,7788 \cdot 0,2212}n = \frac{4200 \cdot 3,6864 \cdot 0,7788 \cdot 0,2212}{0,003025 \cdot 4199 + 3,6864 \cdot 0,7788 \cdot 0,2212}n = \frac{2792,54}{12,702 + 0,633}n = \frac{2792,54}{13,335}n \approx 209,41Redondeando al número entero superior, el tamaño de la muestra total que se debe realizar es de 210 encuestas.3. Distribución del tamaño muestralUna vez que se tiene el tamaño total de la muestra, se distribuye proporcionalmente entre las diferentes categorías de hoteles para asegurar una representación adecuada de cada estrato. * Muestra para hoteles de 4 y 5 estrellas: * n_{4,5} = 210 \cdot \frac{1150}{4200} \approx 57,5 * 58 encuestas * Muestra para hoteles de 3 estrellas: * n_3 = 210 \cdot \frac{2120}{4200} \approx 106 * 106 encuestas * Muestra para hoteles de menos de 3 estrellas: * n_{<3} = 210 \cdot \frac{930}{4200} \approx 46,5 * 47 encuestasLa suma de las muestras por estrato (58 + 106 + 47) da un total de 211 encuestas. La diferencia de una encuesta con respecto al tamaño total calculado de 210 se debe al redondeo. Es aceptable utilizar 211 como el tamaño final de la muestra.Resumen de los resultados * Tamaño total de la muestra: 210 encuestas. * Distribución de la muestra por categoría: * Hoteles de 4 y 5 estrellas: 58 encuestas. * Hoteles de 3 estrellas: 106 encuestas. * Hoteles de menos de 3 estrellas: 47 encuestas.
